자기장 세기

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목차
1. 개요2. 상세
2.1. 자화 밀도2.2. 자화 전류2.3. 자화 물질의 자기 퍼텐셜
2.3.1. 자기 벡터 퍼텐셜2.3.2. 자기 스칼라 퍼텐셜
2.4. 물질에서의 앙페르 법칙2.5. 다른 표현2.6. 자기장 세기의 발산2.7. 쉬운 버전의 정리
3. 정자기학의 경계치 문제
3.1. 장의 경계 조건3.2. 퍼텐셜의 경계 조건3.3. 경계치 방정식
3.3.1. 자기 벡터 퍼텐셜3.3.2. 자기 스칼라 퍼텐셜
3.4. 관련 예제
4. 자기장 차폐
4.1. 예
5. 관련 문서

1. 개요 [편집]

Magnetic field intensity

전기장에서 물질의 효과를 고려한 전기 변위장을 도입했듯, 자기장에서도 자화 물질의 효과를 고려한 새로운 장을 생각할 필요가 있어 나오게 된 물리량이다.

매질의 자화와 관계없이 정의할 수 있으며 매질 외부에서 실험적으로 조절하는 것이 간단하다. 실험적 편의 때문인지 전기 변위장과는 비교도 할 수 없을 만큼 자주 언급된다.

기호로는 H\mathbf{H}로 나타내며, 단위는 A/m\textrm{A/m}가 된다. B=μH\mathbf{B} = \mu \mathbf{H}라는 관계가 성립한다. (단, μ\mu는 매질의 투자율, B\mathbf{B}는 자기장이다.)

H\mathbf{H}라는 표기는 1873년 맥스웰의 저서 《전기자기론(A Treatise on Electricity and Magnetism)》에서 유래하였다.

로마자 기호를 따라 'H\mathbf{H}-field'라고 부르기도 한다. 마찬가지로 다른 주요장인 자기장, 전기장, 전기 변위장도 편하게 B\mathbf{B}-field, E\mathbf{E}-field, D\mathbf{D}-field라고 부르기도 한다.

명칭에 대한 논쟁이 있다. B\mathbf{B}-field를 자기장이라 부르는 사람과 B\mathbf{B}-field 대신 H\mathbf{H}-field를 자기장이라 부르는 사람이 있다. H\mathbf{H}-field를 자기장이라 부르는 사람들은 B\mathbf{B}-field를 '자속밀도'나 '자기 유도'라 표현한다. 맥스웰도 《전기자기론》에서 B\mathbf{B}-field를 자기 유도(magnetic induction)라 부르고 H\mathbf{H}-field를 자기장(magnetic field)이라고 불렀다. 반대로 B\mathbf{B}-field만을 자기장이라 부르는 게 타당하고 H\mathbf{H}-field는 다르게 불러야 한다고 주장하는 사람들은 B\mathbf{B}-field를 '자속밀도'나 '자기 유도'라 부르는 것을 매우 싫어한다. 해당 표현들은 이미 다른 의미로도 사용되고 있기 때문이다.

일반적으로는 B\mathbf{B}-field와 H\mathbf{H}-field 둘 모두를 자기장이라고 통용해서 부른다. 이 때문에 위키피디아에서도 Magnetic field를 검색하면 B\mathbf{B}-field와 H\mathbf{H}-field를 모두 서술하고 있다. 어쨌든 B\mathbf{B}-field와 H\mathbf{H}-field는 서로 다른 물리량이며, 용어의 혼선이 있을 수 있기 때문에 주의하여야 한다. 심지어 이 용어의 혼선 때문에 맥스웰조차도 계산 실수를 한 적이 있다!

H\mathbf{H}-field에 대해 한국어로는 '자기 강도', '자계 강도', '자계 세기', '보조장' 등으로, 원어도 'Magnetic field intensity', 'Magnetic field strength', 'Auxiliary magnetic field', 'Magnetic field'[1] 등으로 다양한 명칭이 쓰이고 있다. 여기서는 가장 통용되는 'Magnetic field intensity'를 택했으며, 번역명은 한국물리학회가 2016년에 발행한 용어집에 따랐다.

별 말이 없는 이상 이 문서는 정자기학의 자기장 세기를 다룬다.

2. 상세 [편집]

2.1. 자화 밀도 [편집]

어떤 물질에 자화가 일어나면, 물질 내에 있는 자기 쌍극자는 외부 자기장 방향[2]으로 정렬하게 된다. 따라서 단위 부피 당 들어있는 자기 쌍극자 m\mathbf{m}을 나타내는 자화 밀도(Magnetization) M\mathbf{M}을 도입한다. 따라서

M≡mV\displaystyle \mathbf{M} \equiv \frac{ \mathbf{m}}{V}

로 쓸 수 있고, 이것을 일반적인 상황에 대해 쓰면,

m=∭M(r′) dV′\displaystyle \mathbf{m}=\iiint \mathbf{M}(\mathbf{r'}) \,dV'

가 된다.

2.2. 자화 전류 [편집]

자화 물질이 자화가 되면 물질 내부엔 자기 쌍극자가 정렬하게 된다고 하였다. 이때, 자기 쌍극자에선 전류가 흐르므로 자화가 되면 물질 내부엔 자화 전류가 흐른다. 이때, 부피와 관련된 자화 전류 밀도를 Jm\mathbf{J}_{m}, 면적과 관련된 자화 전류 밀도를 Km\mathbf{K}_{m}이라 한다.

2.3. 자화 물질의 자기 퍼텐셜 [편집]

2.3.1. 자기 벡터 퍼텐셜 [편집]

자기 쌍극자 문서에서 자기 쌍극자의 자기 퍼텐셜은 아래와 같이 주어짐을 보았다.

A(r)=μ04πm×(r−r′)∣r−r′∣3\displaystyle \mathbf{A}(\mathbf{r})=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{\mathbf{m} \times (\mathbf{r-r'})}{\left| \mathbf{r-r'} \right|^{3}}

자화 밀도 M\mathbf{M}을 도입하면,

A(r)=∭Vμ04πM(r′)×(r−r′)∣r−r′∣3 dV′\displaystyle \mathbf{A}(\mathbf{r})=\iiint_{V} \frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{\mathbf{M}(\mathbf{r'}) \times (\mathbf{r-r'})}{\left| \mathbf{r-r'} \right|^{3}}\,dV '

이때, 분리 벡터 ξ≡r−r′\boldsymbol{\xi} \equiv \mathbf{r-r'}를 도입하면,

\displaystyle \mathbf{A}(\mathbf{r})=\iiint_{V} \frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{\mathbf{M}(\mathbf{r'}) \times \hat\boldsymbol{\xi}}{{\xi}^{2}} \,dV'

가 된다. VV는 자화 물질에 해당하는 부피 영역이다. 이때,

\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \left( \frac{1}{\xi} \right) = -\frac{\hat\boldsymbol{\xi}}{ \xi^{2}}, \,\,\, \displaystyle \boldsymbol{\nabla} ' \left( \frac{1}{\xi} \right) = \frac{\hat\boldsymbol{\xi}}{ \xi^{2}}

를 고려하자. 프라임은 원천 지점(r′\mathbf{r'})을 기준으로 연산을 취한다는 뜻에서 붙였다. 따라서 위 식은

A(r)=μ04π∭VM(r′)×∇′(1ξ) dV′\displaystyle \mathbf{A}(\mathbf{r})=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \iiint_{V} \mathbf{M}(\mathbf{r'}) \times \boldsymbol{\nabla} ' \left( \frac{1}{\xi} \right) \,dV'

벡터 항등식

∇′×(M(r′)ξ)=∇′×M(r′)ξ+∇′(1ξ)×M(r′)\displaystyle \boldsymbol{\nabla} ' \times \left( \frac{\mathbf{M}(\mathbf{r'})}{\xi} \right)=\frac{\boldsymbol{\nabla} ' \times \mathbf{M}(\mathbf{r'})}{\xi}+\boldsymbol{\nabla} ' \left( \frac{1}{\xi} \right) \times \mathbf{M}(\mathbf{r'})

을 사용하면,

A(r)=μ04π[−∭V∇′×(M(r′)ξ) dV′+∭V∇′×M(r′)ξ dV′] \displaystyle \mathbf{A}(\mathbf{r})=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \left[- \iiint_{V} \boldsymbol{\nabla} ' \times \left( \frac{\mathbf{M}(\mathbf{r'})}{\xi} \right) \,dV '+\iiint_{V} \frac{\boldsymbol{\nabla} ' \times \mathbf{M}(\mathbf{r'})}{\xi} \,dV ' \right]

아래 식은 Green 항등식을 사용하면, 아래와 같은 꼴로 쓸 수 있다.

\displaystyle \mathbf{A}(\mathbf{r})=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \left[ \iint_{S} \frac{\mathbf{M} \times \hat\mathbf{n}}{\xi} \,da'+\iiint_{V} \frac{\boldsymbol{\nabla} ' \times \mathbf{M}}{\xi} \,dV ' \right]

이때, 자화 전류 밀도가 존재한다면,

A(r)=μ04π[∬SKmξ da′+∭VJmξ dV′]\displaystyle \mathbf{A}(\mathbf{r})=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \left[ \iint_{S} \frac{\mathbf{K}_{m}}{\xi} \,da'+\iiint_{V} \frac{ \mathbf{J}_{m}}{\xi} \,dV ' \right]

이 만족해야 하므로 아래를 얻는다.

Jm=∇′×MKm=M×n^\displaystyle \mathbf{J}_{m}=\boldsymbol{\nabla} ' \times \mathbf{M} \qquad\qquad \mathbf{K}_{m}=\mathbf{M} \times \hat{\mathbf{n}}

따라서 위 관계식을 이용하면, 자화 전류 밀도를 찾을 수 있다.

2.3.2. 자기 스칼라 퍼텐셜 [편집]

윗 문단에서 논의했던 벡터 퍼텐셜

A(r)=∭μ04πM(r′)×ξξ3 dV′\displaystyle \mathbf{A}(\mathbf{r})=\iiint \frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{\mathbf{M(r')} \times \boldsymbol{\xi}}{\xi^{3}} \,dV'

에 관측지점(r\mathbf{r})에 대한 회전 연산을 취하면, 자기장은 결정된다. 즉,

B(r)=μ04π∭∇×[M(r′)×ξξ3] dV′\displaystyle \mathbf{B}(\mathbf{r})=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \iiint \boldsymbol{\nabla} \times \left[ \frac{\mathbf{M(r')} \times \boldsymbol{\xi}}{\xi^{3}}\right] \,dV'

이고, 벡터 항등식을 사용하면,

∇×[M(r′)×ξξ3]=M(r′)[∇⋅ξξ3]−[M(r′)⋅∇] ξξ3 \displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \left[ \frac{\mathbf{M(r')} \times \boldsymbol{\xi}}{\xi^{3}} \right]=\mathbf{M(r')} \left[ \boldsymbol{\nabla} \cdot \frac{\boldsymbol{\xi}}{\xi^{3}} \right]-[\mathbf{M(r')} \cdot \boldsymbol{\nabla}]\,\frac{\boldsymbol{\xi}}{\xi^{3}}

이때, 우변의 제 1항은

∇⋅ξξ3=4πδ(ξ) \displaystyle \boldsymbol{\nabla} \cdot \frac{\boldsymbol{\xi}}{\xi^{3}} =4 \pi \delta(\boldsymbol{\xi})

이 되고, 여기서 δ(ξ)\delta(\boldsymbol{\xi})는 디랙 델타 함수이다. 또한, 제 2항은 좀 더 유용한 꼴로 바꿀 수 있으며,

[M(r′)⋅∇] ξξ3=∇[M(r′)⋅ξξ3]−M(r′)×[∇×ξξ3]\displaystyle [\mathbf{M(r')} \cdot \boldsymbol{\nabla}]\,\frac{\boldsymbol{\xi}}{\xi^{3}}=\boldsymbol {\nabla} \left[ \mathbf{M(r')} \cdot \frac{\boldsymbol{\xi}}{\xi^{3}} \right]-\mathbf{M(r')} \times \left[ \boldsymbol{\nabla} \times \frac{\boldsymbol{\xi}}{\xi^{3}} \right]

우변의 제 2항은 없어지므로

[M(r′)⋅∇] ξξ3=∇[M(r′)⋅ξξ3]\displaystyle [\mathbf{M(r')} \cdot \boldsymbol{\nabla}]\,\frac{\boldsymbol{\xi}}{\xi^{3}}=\boldsymbol {\nabla} \left[ \mathbf{M(r')} \cdot \frac{\boldsymbol{\xi}}{\xi^{3}} \right]

가 된다. 최종적으로

B(r)=μ04π[−∭∇[M(r′)⋅ξξ3] dV′+4π∭M(r′)δ(ξ)dV′] \displaystyle \mathbf{B}(\mathbf{r})=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \left[ -\iiint \boldsymbol {\nabla} \left[ \mathbf{M(r')} \cdot \frac{\boldsymbol{\xi}}{\xi^{3}} \right]\,dV'+4 \pi \iiint \mathbf{M(r')} \delta(\boldsymbol{\xi}) dV ' \right]

이때, 그레이디언트 연산은 적분과 독립적이므로 적분 안으로 나올 수 있으므로 위 항들은 아래와 같이 정리되게 된다.

B(r)=−μ0∇[∭14πM(r′)⋅ξξ3 dV′]+μ0M(r) \displaystyle \mathbf{B}(\mathbf{r})=- \mu_{0} \boldsymbol{\nabla} \left[\iiint \frac{1}{4 \pi} \frac{\mathbf{M(r')} \cdot \boldsymbol{\xi}}{\xi^{3}} \,dV' \right]+\mu_{0} \mathbf{M(r)}

따라서 자화 물질에 의한 자기 스칼라 퍼텐셜은

14π∭M(r′)⋅ξξ3 dV′≡Φm\displaystyle \frac{1}{4 \pi} \iiint \frac{\mathbf{M(r')} \cdot \boldsymbol{\xi}}{\xi^{3}} \,dV' \equiv \Phi_{m}

이 나오게 된다. 따라서

B(r)=μ0[−∇Φm+M(r)]\displaystyle \mathbf{B}(\mathbf{r})=\mu_{0}[-\boldsymbol{\nabla} \Phi_{m}+ \mathbf{M(r)} ]

로 쓸 수 있다. 후술하겠지만, 이러한 자기 스칼라 퍼텐셜은 자유 전류 밀도가 없는 곳에서만 정의될 수 있고, 자화 물질 자체의 퍼텐셜을 셈했으므로 이러한 조건에 맞게 퍼텐셜을 구했으므로 이 방법은 유효하다.


더 나아가서 퍼텐셜의 형태를 보면,

14π∭M(r′)⋅ξξ3 dV′≡Φm\displaystyle \frac{1}{4 \pi} \iiint \frac{\mathbf{M(r')} \cdot \boldsymbol{\xi}}{\xi^{3}} \,dV' \equiv \Phi_{m}

로, 전기 변위장 문서에서 편극성 물질의 스칼라 퍼텐셜을 구했을 때와 동일한 형태라는 것을 알 수 있다. 따라서 이 퍼텐셜 또한 전기 변위장 문서의 방법에 따라 분해할 수 있고,

14π[∭σmξ da′+∫ρmξ dV′]\displaystyle \frac{1}{4 \pi} \left[ \iiint \frac{\sigma_{m}}{\xi}\,da'+\int \frac{\rho_{m}}{\xi}\,dV' \right]

가 된다. 여기서

ρm=−∇⋅Mσm=M⋅n^\displaystyle \rho_{m}=-\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{M} \qquad \qquad \sigma_{m}=\mathbf{M} \cdot \hat{\mathbf{n}}

으로 자화 전하 밀도가 나오게 되는데, 중요한 것은 이 항은 수학적 처리를 하면서 얻어진 항이라는 점을 명심해야 한다. 멀리 나갈 필요 없이 자기장은 홀극이 존재하지 않는데도 위에선 마치 자기장 문제를 정전기학의 '전하'의 개념을 빌려서 퍼텐셜을 구할 수 있을 것처럼 서술되어 있는 것에서 유추할 수 있다.[3] 하지만 이러한 것은 유용하게 작용하게 되는데, 자기장은 전기장에 비해 직관적 이해가 어렵다. 하지만 정전기학과 유사한 '전하'의 개념을 빌려 마치 극이 있는 마냥 문제를 바라보고 풀면 쉽게 문제를 풀 수 있고, 명백히 스칼라 퍼텐셜 기법은 벡터 퍼텐셜 기법보다 연산 면에서도 더 쉽다. 서술했듯, 자기 홀극은 존재하지 않으므로

∭σm da′+∭ρm dV′=0\displaystyle \iiint \sigma_{m} \,da '+\iiint \rho_{m} \,dV '=0

임이 성립하여야 하고, 수학적으로도 이게 성립한다는 것은 쉽게 보일 수 있다. 이상을 종합하여, 자화 물질에서 자기장은 아래와 같이 주어진다.

B(r)=μ04π[∭ρm ξξ3 dV′+∫σm ξξ3 da′]+μ0M(r) \displaystyle \mathbf{B(r)}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \left[ \iiint \frac{\rho_{m} \, \boldsymbol{\xi}}{\xi^{3}} \,dV'+\int \frac{\sigma_{m} \, \boldsymbol{\xi}}{\xi^{3}} \,da' \right]+\mu_{0}\mathbf{M(r)}

2.4. 물질에서의 앙페르 법칙 [편집]

어떤 물질에 자화가 되었다면 자화 전류가 흐른다. 그러나, 외부 자기장이 가해졌다면, 자유 전류가 흐를 수 있다. 따라서 물질 속에서는 자화 부피 전류 밀도 Jm\mathbf{J}_{m}과 자유 부피 전류 밀도 Jf\mathbf{J}_{f} 모두 존재할 수 있으므로 앙페르 법칙은 아래와 같이 쓸 수 있다.

∇×B=μ0(Jf+Jm)\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{B}=\mu_{0}(\mathbf{J}_{f}+\mathbf{J}_{m})

이때, 윗윗 문단에서 Jm=∇×M\mathbf{J}_{m}=\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{M}이었으므로

∇×B=μ0(Jf+∇×M)\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{B}=\mu_{0}(\mathbf{J}_{f}+\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{M})

이것을 다시쓰면,

∇×(Bμ0−M)=Jf\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \left( \frac{\mathbf{B}}{\mu_{0}}-\mathbf{M} \right)=\mathbf{J}_{f}

꼴로 쓸 수 있고, 여기서 나온 항

Bμ0−M≡H\displaystyle \frac{\mathbf{B}}{\mu_{0}}-\mathbf{M} \equiv \mathbf{H}

을 자기장 세기라 한다. 개요 문단에서도 언급했지만, 가장 큰 특징은 매질에 상관없는 장이라는 점이다. 따라서

∇×H=Jf\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{H}=\mathbf{J}_{f}

로 쓸 수 있고, 양변을 적분하면,

∬(∇×H)⋅da=∬Jf⋅da\displaystyle \iint (\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{H}) \cdot d \mathbf{a}=\iint \mathbf{J}_{f} \cdot d\mathbf{a}

여기서 우변은 자유 전류 IfI_{f}이고, 좌변은 스토크스 정리를 사용하면,

∫H⋅dl=If\displaystyle \int \mathbf{H} \cdot d \mathbf{l}=I_{f}

로 쓸 수 있다.

2.5. 다른 표현 [편집]

물질이 선형적이고, 등방적이라면, 자화 물질의 자화 밀도는 다음과 같은 꼴로 나타내어질 수 있다.

M=χH\displaystyle \mathbf{M}=\chi \mathbf{H}

따라서,

B=μ0(H+χH)\displaystyle \mathbf{B}=\mu_{0}(\mathbf{H}+\chi \mathbf{H})

로 쓸 수 있다. 계속해서 1+χ≡κm1+\chi \equiv \kappa_{m}, μ0κm≡μ\mu_{0}\kappa_{m} \equiv \mu라 정의하면,

B=μH\displaystyle \mathbf{B}=\mu\mathbf{H}

로 쓸 수 있다. 이때, κm\kappa_{m}은 '자기 감수율(Magnetic susceptibility)'이고, μ\mu는 그 물질의 투자율이다.

2.6. 자기장 세기의 발산 [편집]

자기장은 비발산장으로, ∇⋅B=0\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{B}=0이 성립함을 자기장 문서에서 보았다. 다만, 우리가 다루는 '자기장 세기'는

∇⋅H=∇⋅(Bμ0−M)\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{H}=\boldsymbol{\nabla} \cdot \left(\frac{\mathbf{B}}{\mu_{0}}-\mathbf{M} \right)

가 되어, 일반적으로

∇⋅H=−∇⋅M≠0\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{H}=-\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{M} \neq 0

가 되므로 주의하여야 한다.

2.7. 쉬운 버전의 정리 [편집]

기존의 맥스웰 방정식중 하나인 앙페르의 법칙은 진공에서 정의되었다. 가장 일반적으로 이 법칙에 따르면

∮B⋅dl=μ0Ienc\displaystyle \oint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{l} = \mu_0 I_{\text{enc}}

이제 진공이 아닌 물체가 공간을 꽉꽉 체우고 있다고 생각한다. 이 공간에 임의의 자유 전류 IfI_f를 흘려보낸다. 이 전류는 자기장을 일으키며, 이 자기장은 물체를 이루고 있는 원자들에게 영향을 미친다. 하지만 원자들은 자기 모멘트를 지니고 있다! 자기 모멘트는 전류 폐곡선과 수학적으로 동일하며, 외부로부터 자기장이 걸릴시 자기 모멘트는 이 외부 자기장과 똑같은 방향으로 정렬하려고 할 것이다. 앞에서 말했듯이 자기 모멘트는 전류 폐곡선과 동치인데, 이렇게 작은 전류 폐곡선들을 자기장과 정렬되면 IencI_{\text{enc}}가 바뀐다. 이 변화량을 IiI_i라하면 앙페르의 법칙은

∮Bμo⋅dl=If+Ii\displaystyle \oint \frac{\mathbf{B}}{\mu_o}\cdot d\mathbf{l} = I_f+I_i

일일이 IiI_i를 고려하기엔 너무 골치가 아프다. 그래서 우항의 IiI_i를 좌항의 자기장과 '합체'시켜 새로운 장을 정의하자.

일단 폐곡선인 ll의 미소 길이을 둘러싼 작은 미소 폐곡선 ΔS\Delta S를 고려하자. 폐곡선을 새로 뚫는 유도 전류는 전부 폐곡선 바로 근처에 있다. 따라서 폐곡선의 길이당 전류는 (Ia⋅A)/ΔA{(I_a \cdot A)}/{\Delta A}다. 여기서 IaI_a가 미소부피 안에 있는 폐곡선 전류량[4], AA는 미소 폐곡선 내부의 넓이이다. 이제 이 물리량을 폐곡선 전체에 대해 선미분하면 IiI_i가 주어진다. 하지만 여기서 Ia⋅AI_a \cdot A는 미소 부피 안에있는 작은 자기장 모멘트 m\mathbf{m}와 같다. 이제 정리하면

ΔIiΔl=mΔV\displaystyle \frac{\Delta I_i}{\Delta l} = \frac{m}{\Delta V}

우항을 '자하 밀도'라 정하고, M\mathbf{M}이라 칭한다. 방향은 오른손 법칙으로 정의한다.[5] 자유 전류가 일직선이라고 잠시 상상해보자.[6] 이 전류는 주위를 "맴도는" 자기장을 만든다.[7] 이 자기장의 회전 방향으로 앙페르 폐곡선을 만든다. 이 폐곡선의 방향과 자기장 모멘트 벡터들의 방향이 일치하면, 자기장 모멘트와 동치인 자화 전류들이, 기존의 자유 전류와 똑같은 방향으로 이 폐곡선을 관통한다. 그래서 간단한 벡터 선적분으로 위에 관계를 '벡터화' 시킬 수 있다.

Ii=∮M⋅dl\displaystyle I_i = \oint \mathbf{M} \cdot d\mathbf{l}

예를 들어 모든 자기 모멘트가 폐곡선과 직각을 이룬다면, 선적분은 0이다. 직각이면 자화 전류가 폐곡선과 똑같은 평면에 있으니[8] 물리적으로 IiI_i가 0인게 말이 된다. 이제 위에서 두번째 식에 있는 앙페르 법칙에서 IiI_i를 좌항으로 옮기면

∮(Bμo−M)⋅dl=If\displaystyle \oint \left(\frac{\mathbf{B}}{\mu_o} - \mathbf{M} \right)\cdot d\mathbf{l} = I_f

그냥 간단한 진공에서의 앙페르 법칙과 유사하지 않은가? 더 이상 식에 직접적으로 자화 전류는 나타나지 않는다. 이제 마지막으로 자기장 세기를 정의한다.

H≡Bμo−M\displaystyle \mathbf{H} \equiv \frac{\mathbf{B}}{\mu_o} - \mathbf{M}

3. 정자기학의 경계치 문제 [편집]

3.1. 장의 경계 조건 [편집]

위의 논의로 거시적인 정자기학의 방정식은 아래와 같이 요약된다고 할 수 있다.

∇⋅B=0∇×H=Jf\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{B}=0 \qquad\qquad \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{H}=\mathbf{J}_{f}

이번에는 이들 장이 어떤 경계 조건을 가지는 지 살펴보자.

파일:namu_Magnetic_Potential_NEW_NEW.png

위 그림과 같이 각각의 자화 밀도가 각각 M1\mathbf{M}_{1}, M2\mathbf{M}_{2}인 매질 1, 매질 2를 고려하자.

∇⋅B=0\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{B}=0

에서 위 그림과 같이 밑면의 면적이 AA이고, 높이가 hh인 원기둥의 표면 SS에 대하여,

∬SB⋅da=0\displaystyle \iint_{S} \mathbf{B} \cdot d \mathbf{a}=0

을 만족하고, h→0h \rightarrow 0의 극한을 취하면, 원기둥의 옆면에 기여하는 자기 선속은 상쇄된다. 매질 I에서 매질 II로 향하고, 경계면에 수직으로 향하는 벡터를 \hat\mathbf{n}으로 정하면,

\displaystyle \iint_{S} \mathbf{B} \cdot d \mathbf{a}=[(\mathbf{B_{2}}-\mathbf{B_{1}})\cdot \hat \mathbf{n}]\,A=0

이 되므로 다음을 얻는다.

\displaystyle \mathbf{B_{1}} \cdot \hat\mathbf{n} = \mathbf{B_{2}} \cdot \hat\mathbf{n}

따라서 자기장의 수직 성분은 경계면을 가로지를 때 연속이 된다. 또한 B=μ0(H+M)\mathbf{B}=\mu_{0}(\mathbf{H}+\mathbf{M})임을 이용하면,

\displaystyle (\mathbf{H_{2}} -\mathbf{H_{1}}) \cdot \hat\mathbf{n}=-(\mathbf{M_{2}} -\mathbf{M_{1}}) \cdot \hat\mathbf{n}

임을 쉽게 알 수 있다.

이번에는 ∇×H=Jf\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{H}=\mathbf{J}_{f}임을 이용하자. 맨 위 그림과 같은 사각 경로를 잡고, h→0h \rightarrow 0의 극한을 취하면, 경계면을 가로지르는 부분에 대한 적분 값은 기여하지 않으므로

\displaystyle \oint \mathbf{H} \cdot d \mathbf{l}=[(\mathbf{B_{2}}-\mathbf{B_{1}})\cdot \hat \mathbf{t}]\,l

이 된다. 여기서 벡터 t^\hat{\mathbf{t}}는 경계면에 평행한 벡터이다. 이때, 이 값은 자유 전류가 되고, h→0h \rightarrow 0의 극한을 취하므로 해당 폐곡선에 통과하는 자유 전류는 자유 표면 전류 밀도에 의한 표면 전류가 된다. 즉,

h→0If→Kfl\displaystyle h \rightarrow 0 \qquad I_{f} \rightarrow K_{f}l

따라서 결과를 종합하면,

\displaystyle (\mathbf{H_{2}}-\mathbf{H_{1}})\cdot \hat \mathbf{t}=K_{f}

이 되고, 만약 자유 표면 전류 밀도가 존재하지 않는다면, 자기장 세기의 경계면과 접하는 성분은 연속이 됨을 쉽게 알 수 있다. 이것은 아래와 같이 좀 더 유용한 꼴로 바꿀 수 있다.

\displaystyle [\mathbf{H_{2}}-\mathbf{H_{1}}]_{t}=\mathbf{K}_{f} \times \hat\mathbf{n} \qquad\qquad \hat{\mathbf{n}} \times (\mathbf{H_{2}}-\mathbf{H_{1}})=\mathbf{K}_{f}

따라서 장의 경계 조건은 아래와 같이 요약할 수 있다.

\displaystyle \mathbf{B_{1}} \cdot \hat\mathbf{n} = \mathbf{B_{2}} \cdot \hat\mathbf{n} \qquad \qquad \hat{\mathbf{n}} \times (\mathbf{H_{2}}-\mathbf{H_{1}})=\mathbf{K}_{f}

3.2. 퍼텐셜의 경계 조건 [편집]

이번에는 퍼텐셜의 경계 조건을 알아보도록 하자.

파일:나무_자기세기_경계조건_장3.png

위 그림과 같이 폐곡선을 잡도록 하자. 자기 선속(Magnetic flux)은

F=∮A⋅dl\displaystyle F=\oint \mathbf{A} \cdot d \mathbf{l}

으로 자기 벡터 퍼텐셜을 이용하여 표현할 수 있다. 따라서 위 폐곡선 중 h→0h \rightarrow 0의 극한을 취하면, 폐곡선을 둘러싸는 영역의 넓이는 0에 수렴하게 되고, 장 자체는 무한할 수 없으므로 F→0F \rightarrow 0이 된다. 또한, 경계면을 가로지르는 부분에 대한 적분 값은 없으므로

\displaystyle \oint \mathbf{A} \cdot d \mathbf{l}=[(\mathbf{A_{2}}-\mathbf{A_{1}}) \cdot \hat\mathbf{t}]\,l=0

이 만족하게 된다. 따라서 위의 결과로

A1⋅t^=A2⋅t^\displaystyle \mathbf{A_{1}} \cdot \hat{\mathbf{t}}=\mathbf{A_{2}} \cdot \hat{\mathbf{t}}

로, 자기 벡터 퍼텐셜의 경계면의 접선 성분은 연속이 됨을 알 수 있다. 또한, 수직 성분 또한 경계면을 가로지를 때, 연속이 되는데 이것은 쿨롱 게이지 ∇⋅A=0\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{A}=0을 이용하면 쉽게 증명할 수 있다. 자기 퍼텐셜 문서를 참고하라.

이상의 조건을 종합하면,

A1=A2\displaystyle \mathbf{A_{1}}=\mathbf{A_{2}}

를 만족해야 한다는 것이다.


자기 스칼라 퍼텐셜은 위에서 다뤘듯이,

H=−∇Φm\displaystyle \mathbf{H} = -\boldsymbol{\nabla} \Phi_{m}

이 성립하므로

Φm=−∫H⋅dr\displaystyle \Phi_{m}=-\int \mathbf{H} \cdot d \mathbf{r}

이 된다. 따라서 위 그림에서 a→b\textrm{a} \rightarrow \textrm{b}로 갈 때,

−∫abH⋅dr=ΔΦm\displaystyle -\int_{\textrm{a}}^{\textrm{b}} \mathbf{H} \cdot d \mathbf{r} = \mathit{\Delta}\Phi_{m}

이고, r→0r \rightarrow 0의 극한을 취했을 때, H\mathbf{H}는 무한할 수는 없으므로

ΔΦm=Φ2−Φ1=0\displaystyle \mathit{\Delta}\Phi_{m} =\Phi_{2}-\Phi_{1}=0

이상에서 다음을 얻는다.

Φ1=Φ2\displaystyle \Phi_{1}=\Phi_{2}

다만, 주의해야할 것은 자기 스칼라 퍼텐셜은 자유 전류가 없을 때만 가능하며, 경계에 자유 전류가 존재할 경우엔 자기 스칼라 퍼텐셜이 정의되지 않는 부분이 생기므로 꼭 연속이라고 말할 수 없다.

3.3. 경계치 방정식 [편집]

3.3.1. 자기 벡터 퍼텐셜 [편집]

다음을 고려하자.

∇×B=μJf\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{B}=\mu \mathbf{J}_{f}

이때, 벡터 퍼텐셜과 자기장의 관계에 의해

∇×B=∇×(∇×A) \displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{B}=\boldsymbol{\nabla} \times (\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A})

이고, 벡터 항등식을 사용하면,

∇×(∇×A)=∇(∇⋅A)−∇2A \displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times (\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A})=\boldsymbol{\nabla}(\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{A})-\nabla^{2}\mathbf{A}

으로 놓을 수 있고, 정자기학에서는 쿨롱 게이지(Coulomb Gauge) 조건

∇⋅A=0 \displaystyle \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{A}=0

을 도입할 수 있으므로

∇2A=−μJf \displaystyle \nabla^{2}\mathbf{A}=-\mu \mathbf{J}_{f}

가 나오게 된다. 이때, 직교 좌표계를 사용하면,

∇2Ai=−μ [Jf]i   (i=x, y, z) \displaystyle \nabla^{2}A_{i}=-\mu \,[\mathbf{J}_{f}]_{i}\,\,\,(i=x,\,y,\,z)

의 각 성분 마다의 푸아송 방정식을 얻는다.

3.3.2. 자기 스칼라 퍼텐셜 [편집]

자기장 세기에 대하여,
∇×H=Jf \displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{H}=\mathbf{J}_{f}

로 쓸 수 있음을 위해서 보았다. 그런데, Jf=0\mathbf{J}_{f}=0인 구역에서

∇×H=0 \displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{H}=0

으로 H\mathbf{H}는 비회전장이 된다. 따라서 이때 자기 스칼라 퍼텐셜 도입이 가능해진다. 따라서

H=−∇Φm \displaystyle \mathbf{H}=- \boldsymbol{\nabla} \Phi_{m}

형태로 쓸 수 있고[9],

∇⋅H=−∇⋅M=ρm \displaystyle \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{H}=-\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{M} =\rho_{m}

임을 이용하면,

∇2Φm=−ρm \displaystyle {\nabla}^{2} \Phi_{m}=- \rho_{m}

로 푸아송 방정식이 얻어지고, 이것은 정전기학에서 다뤘던 것과 유사하다. 또한, ρm=0\rho_{m}=0인 곳에서는 라플라스 방정식

∇2Φm=0 \displaystyle {\nabla}^{2} \Phi_{m}=0

이 된다. 학부 수준에서는 선형 물질을 다루기 때문에 ρm=0\rho_{m}=0인 경우가 많으므로 이 방법으로 문제를 해결하는 것이 더 쉽다. 다만, 선형 물질이 아니더라도 ρm=0\rho_{m}=0을 만족하는 경우가 몇몇 존재하기 때문에 반드시 이것을 구해보고 이 방법을 적용하는 게 현명하다.

3.4. 관련 예제 [편집]

4. 자기장 차폐 [편집]

전기장 문서에서 정전기적 평형 상태에서 도체 내부의 전기장이 0이 됨을 논의했다. 따라서 전기장 차폐의 경우 도체로만 둘러싸이게 하면, 쉽게 차폐할 수 있다.

다만, 자기장의 경우엔 현실적으로 완벽히 차폐할 수 없다. 그러나, 상대적으로 높은 투자율을 가진 물질 예로 들면, 금속에 둘러싸이게 하면, 어느정도 차폐가 되는 효과를 보인다. 아래의 예를 참고하라.

4.1. 예 [편집]


파일:나무_전자기차폐_구.png

위 그림과 같이 내부와 외부의 반지름이 R1R_{1}, R2R_{2}인 구각(Spherical shell)을 고려하자. 구각의 투자율은 μ1\mu_{1}이고, 그 외 영역은 μ2\mu_{2}이다. 또한 외부에선 자기장 세기 H0=H0z^\mathbf{H_{0}}=H_{0}\hat{\mathbf{z}}를 걸어주고 있다. 외부에서 전류가 없는 상황이므로 자기 스칼라 퍼텐셜을 사용할 수 있고, 물질이 모두 선형적이라고 가정하면,

∇2Φm=0 \displaystyle {\nabla}^{2} \Phi_{m}=0

을 만족한다. 외부 자기장 세기에 의한 자기 퍼텐셜 Φ0\Phi_{0}은

−∇Φ0⋅dr=H⋅dr → Φ0=−∫H⋅dr \displaystyle -\boldsymbol{\nabla}\Phi_{0}\cdot d \mathbf{r}=\mathbf{H} \cdot d\mathbf{r} \, \rightarrow \, \Phi_{0}=-\int \mathbf{H} \cdot d\mathbf{r}

로 구할 수 있고, dr=dzd \mathbf{r}=d \mathbf{z}로 택하면,

Φm=−H0rcos⁡θ \displaystyle \Phi_{m}=-H_{0}r\cos{\theta}

로 구해진다.[10] 또한, 해당 상황은 구면좌표계를 사용할 시 ϕ\phi에 대해서는 대칭성이 존재하므로 자기 퍼텐셜은 아래와 같은 꼴로 주어진다.

Φm=∑n=1∞ [cnrn+dnr−(n+1)] Pn(cos⁡θ) \displaystyle \Phi_{m}=\sum_{n=1}^{\infty}\, [c_{n}r^{n}+d_{n}r^{-(n+1)}]\,P_{n}(\cos{\theta})

그런데 외부 자기장 세기에 의한 자기 퍼텐셜 항이 cosine 항에 비례하므로 편미분 방정식 해는 대칭성에 따라 cosine 항만 나오게 되므로 각 영역에 대한 퍼텐셜은

Φ1=Arcos⁡θ+Br2cos⁡θ(r<R1)Φ2=Crcos⁡θ+Dr2cos⁡θ(R1<r<R2)Φ3=−H0rcos⁡θ+Er2cos⁡θ(R2>r) \displaystyle \begin{aligned} \Phi_{1}&=A r \cos{\theta}+\frac{B}{r^{2}}\cos{\theta} && (r<R_{1}) \\ \Phi_{2}&=C r \cos{\theta}+\frac{D}{r^{2}}\cos{\theta} && (R_{1}<r<R_{2}) \\ \Phi_{3}&=-H_{0} r \cos{\theta}+\frac{E}{r^{2}}\cos{\theta} && (R_{2}>r) \end{aligned}

이때, BB가 존재하면, r→0r \rightarrow 0일 때, Φ1→∞\Phi_{1} \rightarrow \infty이므로 B=0B=0을 만족해야 한다. 또한, 자기장 세기 문서에서 논의했던 '정자기학의 경계조건'을 참고하면 아래와 같은 경계 조건을 만족해야 한다.

Φ1(r=R1)=Φ2(r=R1)Φ2(r=R2)=Φ3(r=R2)μ2∂Φ1∂r∣r=R1=μ1∂Φ2∂r∣r=R1μ1∂Φ2∂r∣r=R2=μ2∂Φ3∂r∣r=R2 \displaystyle \begin{aligned} \Phi_{1}(r=R_{1})&=\Phi_{2}(r=R_{1}) \\ \Phi_{2}(r=R_{2})&=\Phi_{3}(r=R_{2}) \\ \mu_{2} \left. \frac{\partial \Phi_{1}}{\partial r} \right|_{r=R_{1}} &= \mu_{1} \left. \frac{\partial \Phi_{2}}{\partial r} \right|_{r=R_{1}} \\ \mu_{1} \left. \frac{\partial \Phi_{2}}{\partial r} \right|_{r=R_{2}} &= \mu_{2} \left. \frac{\partial \Phi_{3}}{\partial r} \right|_{r=R_{2}} \end{aligned}

위 중 세, 네 번째는 자기장의 수직 성분이 경계면을 가로지를 때, 연속임을 이용한 것이다. 자세한 것은 자기장 세기 문서를 참고하라. 위 경계 조건을 만족하는 연립 방정식은

{A=C+DR13C+DR23=−H0+ER23μ2A=μ1C−μ1DR13μ1C−μ1DR23=−μ2H0−μ2ER23 \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle A=C+\frac{D}{R_{1}^{3}} \\ \displaystyle C+\frac{D}{R_{2}^{3}}=-H_{0}+\frac{E}{R_{2}^{3}} \\ \displaystyle \mu_{2}A=\mu_{1}C-\frac{ \mu_{1} D}{R_{1}^{3}} \\ \displaystyle \mu_{1}C-\frac{ \mu_{1} D}{R_{2}^{3}}=-\mu_{2}H_{0}-\frac{\mu_{2}E}{R_{2}^{3}} \end{array}\right.

이 된다.[11]

이제부터는 관심있는 영역인 구각 내부(r<R1r<R_{1}) 영역만을 살펴보기로 하자. 위의 방정식을 풀면,

A=−9μ1μ2H0(2μ1+μ2)(μ1+μ2)−2(R1/R2)3(μ1−μ2)2 \displaystyle A=-\frac{9 \mu_{1}\mu_{2}H_{0}}{(2 \mu_{1}+\mu_{2})( \mu_{1}+\mu_{2})-2(R_{1}/R_{2})^{3}(\mu_{1}-\mu_{2})^{2}}

와

Φ1=−9μ1μ2H0z(2μ1+μ2)(μ1+μ2)−2(R1/R2)3(μ1−μ2)2 \displaystyle \Phi_{1}=-\frac{9 \mu_{1}\mu_{2}H_{0}z}{(2 \mu_{1}+\mu_{2})( \mu_{1}+\mu_{2})-2(R_{1}/R_{2})^{3}(\mu_{1}-\mu_{2})^{2}}

를 얻을 수 있고, H=−∇Φm\mathbf{H} = -\boldsymbol{\nabla} \Phi_{m}을 이용하면,

H1=9μ1μ2(2μ1+μ2)(μ1+μ2)−2(R1/R2)3(μ1−μ2)2H0 \displaystyle \mathbf{H_{1}}=\frac{9 \mu_{1}\mu_{2}}{(2 \mu_{1}+\mu_{2})( \mu_{1}+\mu_{2})-2(R_{1}/R_{2})^{3}(\mu_{1}-\mu_{2})^{2}} \mathbf{H_{0}}

임을 알 수 있다. 이때, μ1≫μ2\mu_{1} \gg \mu_{2}일때, 상황을 고려하자. 위 자기장 세기는

H1=9(μ2/μ1)[2+(μ2/μ1)][1+(μ2/μ1)]−2(R1/R2)3[1−(μ2/μ1)]2H0 \displaystyle \mathbf{H_{1}}=\frac{9 (\mu_{2}/\mu_{1})}{[2 +(\mu_{2}/\mu_{1} ) ] [ 1+(\mu_{2}/\mu_{1} ) ]-2(R_{1}/R_{2})^{3}[1-(\mu_{2}/\mu_{1} ) ]^{2}} \mathbf{H_{0}}

이 되고, μ1≫μ2\mu_{1} \gg \mu_{2}이므로 (μ2/μ1) → 0(\mu_{2}/\mu_{1}) \, \rightarrow \,0이 됨에 따라

H1 → 0 \displaystyle \mathbf{H_{1}} \, \rightarrow \, 0

으로 차폐가 일어남을 쉽게 보일 수 있다.

5. 관련 문서 [편집]

[1] 우리말로 하면 그냥 자기장이다. B-field와의 혼선을 야기할 수 있는 표현이므로 H-field를 이렇게 부르는 경우는 많지 않은 편이다. 하지만 실제로 이 Magnetic field라는 용어의 혼선 때문에 맥스웰조차 계산 실수를 한 적이 있다.[2] 그와 반대 방향으로 정렬하게 되는 경우도 있고, 그러한 물질을 반자성체라 한다.[3] 자기장은 쌍극자 항부터 존재하게 된다. 자세한 것은 자기 쌍극자 문서에서 다중극 전개 과정을 한 번 볼 것을 권한다.[4] 미소부피의 크기가 원자 1개라고 생각하면 이건 원자핵 주위를 '돌고'있는 전자들의 전류라고 생각하면 된다[5] 전류가 흐르는 방향으로 오른손에 주먹을 쥐면 엄지가 가리키는 방향이 자기장 모멘트의 방향이다.[6] 일적선이 아니라도 충분히 작은 구역을 보면 일직선이 된다[7] 오른쪽 엄지를 전류로 향하게 하면, 손가락들이 말리는 방향이 자기장의 방향이다[8] 폐곡선을 관통하지 않으니[9] 이것은 위에서 '자화 물질의 자기 스칼라 퍼텐셜'을 구하면서 얻었던 것과 같은 결과를 얻었음에 주목하라.[10] 상수 항은 퍼텐셜 특성 상 무시할 수 있으므로 무시했다.[11] 여담으로 이렇게 복잡한 연립 방정식은 행렬로 풀이하는 게 나으며, 애초에 21세기를 살고 있는 우리에겐 손보다 더 좋은 기구가 있다는 것 또한 참고하라.

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